↑ " ∀ x ( x ⋅ 0 = 0 ) {\displaystyle \forall x\ (x\cdot 0=0)} " có thể được chứng minh từ các tiên đề khác (trong logic bậc nhất) như sau. Thứ nhất, x ⋅ 0 + x ⋅ 0 = x ⋅ ( 0 + 0 ) = x ⋅ 0 = x ⋅ 0 + 0 {\displaystyle x\cdot 0+x\cdot 0=x\cdot (0+0)=x\cdot 0=x\cdot 0+0} bởi luật phân phối và phần tử đơn vị trên phép cộng. Thứ hai, x ⋅ 0 = 0 ∨ x ⋅ 0 > 0 {\displaystyle x\cdot 0=0\lor x\cdot 0>0} theo tiên đề 15. Nếu x ⋅ 0 > 0 {\displaystyle x\cdot 0>0} thì x ⋅ 0 + x ⋅ 0 > x ⋅ 0 + 0 {\displaystyle x\cdot 0+x\cdot 0>x\cdot 0+0} bởi phép cộng với cùng một phần tử và tính giao hoán, và vì thế x ⋅ 0 + 0 > x ⋅ 0 + 0 {\displaystyle x\cdot 0+0>x\cdot 0+0} bằng phép thay thế, mâu thuẫn với tính không phản xạ. Vậy x ⋅ 0 = 0 {\displaystyle x\cdot 0=0} .
